Exercice 1

1. On souhaite tirer aléatoirement N échantillons de taille n suivant une loi normale \(\mathcal N(\mu,1)\). Choisir une valeur de \(\mu\). On choisit \(N=10000\) et \(n=100\). Calculer les \(N\) moyennes et médianes empiriques. Comparer les deux estimateurs.

2. On choisit maintenant la loi \(\mathcal N(0,\sigma^2)\). Choisir une valeur de \(\sigma^2\). On souhaite estimer l’écart type, c’est-à-dire \(\sigma\). On choisit trois estimateurs :

• L’estimateur \(\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (X_k-\bar X_n)^2}\).
• La racine carrée de la variance empirique \(\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (X_k-\bar X_n)^2}\).
• La distance interquartile divisée par qnorm(0.75)-qnorm(0.25) : \(\displaystyle\frac{Q_3-Q_1}{1.34898}\).

Comparer ces trois estimateurs, par exemple en dessinant le boxplot pour chaque échantillon d’estimations.

Exercice 2

Soit \(X_1,\ldots,X_n\), \(n\) variables aléatoires indépendantes suivants la loi uniforme sur l’intervalle \([0,\theta]\), où \(\theta\) est le paramètre inconnu que l’on cherche à estimer. On propose trois estimateurs de \(\theta\) :

• \(T_1= 2 \bar X_n\)

• \(T_2 = \max_{i=1,...,n} (X_i)\)

• \(T_3 = \displaystyle \frac{n+1}{n} T_2\)

Pour chaque estimateur, calculer l’espérance et la variance, ainsi que l’erreur quadratique moyenne. Mettre en oeuvre un programme pour illustrer vos calculs.

Exercice 3

Un Sériciculteur a pesé 100 cocons de son élevage de vers à soie. Il a obtenu les résultats suivants :

donnees <- read.table(file="cocons.txt",header=F,dec=".")
library(DT)
datatable(donnees, options = list(pageLength = 5))

table(donnees)

## donnees
## 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69  0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 
##    3    5    2    6    6   10   12   10    9    8    8    6    5    4    3 
## 0.79 
##    3

On appelle \(\mu\) la moyenne de tous les cocons de l’élevage et on suppose que le poids d’un cocon suit une loi normale, \(\mathcal N(\mu,\sigma^2)\), avec \(\sigma^2 = 0.0016 g^2\). On suppose que \(X_i\) est le poids du i-ème cocon de cet échantillon. On suppose que ces \(n\) variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées.

1. Donner la loi de \(\bar X_n = \displaystyle \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i\). Centrez et réduisez cette variable aléatoire. On notera \(Z_n\), cette variable centrée réduite. Donner la loi de \(Z_n\).

2. Déterminer un réel \(t\) tel que \(P(-t\leq Z_n\leq t)\geq 0.95\).

3. Montrer que \(P(\bar X_n-0.00784\leq \mu \leq \bar X_n + 0.00784) \geq 0.95\)