Introduction

Pour commencer, lisez la partie du cours relative à ces deux théorèmes fondamentaux.

Loi forte des grands nombres et Théorème Centrale Limite

Pour chacune des lois suivantes :

  1. Ecrire une fonction en R permettant de générer un échantillon de taille \(N\) selon ces lois.

  2. Vérifiez pour chaque distribution la loi forte des grands nombres.

  3. On veut maintenant simuler \(M\) échantillons de taille \(N\). Ecrire une fonction permettant de le faire.

  4. Vérifiez pour chaque distribution le théorème centrale limite.

Méthodes de Monte Carlo

Ces méthodes visent à calculer une intégrale par des simulations de variables aléatoires : \[ I = \int g(x)f(x)\,dx \] où \(f\) est la fonction densité d’une variable aléaoire \(X\). Ainsi, on a \[ I=\mathbb E[g(X)] \] D’après la loi forte des grands nombres, il suffit de simuler un échantillon i.i.d \(X_1,\ldots,X_n\), de loi à densité \(f\) et de calculer \[ \frac 1n \sum_{i=1}^n g(X_i), \] cette quantité tendant vers \(I=\mathbb E[g(X)]\) quand \(n\to +\infty\).

exemple :

On cherche à calculer \[ I=\int_{0}^1 \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]

En R, cela donne

n<-1000000
ech<-runif(n)
mean(log(1+ech)/sqrt(1-ech^2))
## [1] 0.7407137
integrate(function(x) log(1+x)/sqrt(1-x^2),0,1)
## 0.7431381 with absolute error < 2.2e-06

On peut également utiliser une autre loi que la loi uniforme : par exemple la loi beta, notée \(\mathcal B(a,b)\). La densité de cette loi est \[ \forall x\in [0,1],\, f(x) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1} \] où \(B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Pour rappel, la fonction gamma, notée \(Gamma(x)\) vaut \[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}\exp(-t)\,dt \]

On peut donc écrire \(I\) sous la forme \[ I = \int_0^1 \frac{g(x)}{f(x)}f(x)\,dx \] où \(f\) est la fonction densité de la loi Beta.

En R, cela donne

n<-1000000
a<-5 # 1er paramètre de la loi Beta
b<-1 # 2ème paramètre de la loi Beta
ech<-rbeta(n,a,b)
g<-function(x) log(1+x)/sqrt(1-x^2)
mean(g(ech)/dbeta(ech,a,b))
## [1] 0.7404346
integrate(g,0,1)
## 0.7431381 with absolute error < 2.2e-06

TP

Approximation de \(\pi\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,1]\) par \[ \forall x\in [0,1],\, f(x) = \sqrt{1-x^2} \] Faire une procédure permettant de calculer \[ I=\int_0^1 f(x)\,dx \] En déduire une approximation de \(\pi\).

Une autre façon d’approcher \(\pi\) est de simuler des points dans le carré unité et de compter le nombre de points qui sont à une distance de l’origine plus petite que \(1\).

Calculer également par Monte Carlo l’intégrale suivante : \[ \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,dx \]

Calcul d’intégrales

Exercice 1

Nous considérons une variable aléatoire \(X\) de loi \(\Gamma(a,b)\) de densité de probabilité : \[ f(x) = \frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\exp(-bx) \] Dans la suite, on prend \(a= 4\) et \(b= 1\).

  1. Simuler un échantillon de 1000 réalisations de \(X\).

  2. Donner, par des simulations, des approximations de l’espérance et de la variance de \(X\).

  3. Calculer l’intégrale suivante par Monte Carlo \[ \int_0^{+\infty} \cos(2x)x^{7/3}\exp(-3.2x)\,dx \]

Exercice 2

On cherche à calculer \[ I = \int_0^{+\infty} \exp(-x^2/2)\,dx \]

  1. Montrer grâce à la loi normale et par le calcul que \(I=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\).

  2. En effectuant un changement de variables \(y=x^2/2\) dans l’intégrale, prouvez que \[ I= \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2y}}\exp(-y)\,dy \]

  3. Montrer que cette intégrale peut être vue comme l’espérance d’une fonction d’une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle. Donner le paramètre de cette loi exponentielle.

  4. Mettre en oeuvre un programme permettant de calculer cette intégrale par la Monte Carlo. Comparer avec la fonction integrate.

Exercice 3 : En dimension 2

On s’intéresse à l’intégrale \[ \iint_{\mathcal D} \sqrt{r^2-x^2-y^2}\,dxdy \] où \(r>0\) et \(\mathcal D=\{(x,y)\in \mathbb R^2,\, x^2+y^2\leq r^2\}\).

Mettre en oeuvre un programme permettant de calculer cette intégrale double (qui n’est rien d’autre que le volume de la demi-sphère de rayon r).