Loi uniforme discrète

Soit \(X\) une variable aléatoire distribuées selon une loi uniforme discrète sur \(\{1,\ldots,n\}\).

La distribution est définie comme suit : \[ \forall k\in \{1,\ldots,n\}, \, p(X=k)=\frac 1n \]

En R,

n<-30
ech<-sample(1:10,n,replace=T)
table(ech)/n

## ech
##          1          2          3          4          5          6 
## 0.06666667 0.06666667 0.10000000 0.16666667 0.16666667 0.10000000 
##          7          8          9         10 
## 0.06666667 0.03333333 0.13333333 0.10000000

barplot(table(ech)/n)
abline(h=1/10,col="red")

Loi de Bernoulli

Cette loi est notée \(\mathcal B(p)\). On dit que \(X\leadsto \mathcal B(p)\) si et seulement si \(X\) est une variable binaire telle que (on parle de loi succès/échec) : \[ P(X=1)=p \] et \[ P(X=0)=1-p=q \]

C’est un cas particulier de la loi binomiale avec \(n=1\).

On peut vérifier facilement par le calcul que \(\mathbb E[X]=p\) et \(\mathbb V[X] = pq = p(1-p)\).

n<- 30  # taille de l'échantillon
p<-0.3   # paramètre de la loi de Bernoulli
esp<-p
var<-p*(1-p)
ech<-rbinom(n,size = 1,prob = p) # size = 1 correspond à la loi de Bernoulli
table(ech)/n

## ech
##   0   1 
## 0.6 0.4

paste("La moyenne de l'échantillon est ",mean(ech),", sachant que l'espérance vaut",esp)

## [1] "La moyenne de l'échantillon est  0.4 , sachant que l'espérance vaut 0.3"

paste("La variance de l'échantillon est ",round(var(ech),2),", sachant que la variance de la loi vaut",p*(1-p))

## [1] "La variance de l'échantillon est  0.25 , sachant que la variance de la loi vaut 0.21"

Loi binomiale

On dit que \(X\) suit une loi binomiale, notée \(\mathcal B(n,p)\).

On dit que cette loi est la somme de lois de Bernoulli indépendantes et de même paramètre, ce qui revient à compter le nombre de succès (nombre de \(1\)) parmi les \(n\) expériences. Cela revient donc à faire \(n\) fois une expérience (qui a une probabilité \(p\) de réussir) identique, de façon indépendante. \(X\) représente donc le nombre de succès.

Pour résumer, soit \(Y_i\leadsto \mathcal B(p)\) pour \(i=1,\ldots,n\), où les \(Y_i\) sont indépendants. On note \[ X = \sum_{i=1}^n Y_i \leadsto \mathcal B(n,p) \]

Les valeurs possibles pour la variable \(X\) sont \(\{0,\ldots,n\}\) et \[ \forall k\in\{0,\ldots,n\},\, p_k=p(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]

On peut remarquer que la somme des probabilités est bien égale à 1 grace à la formule du binôme de Newton : \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^kb^{n-k} \] En prenant \(a=p\) et \(b=q=1-p\) on trouve : \[ \sum_{k=0}^n p_k= \sum_{k=0}^nC_n^k p^k (1-p)^{n-k} = (p+1-p)^n=1^n=1 \]

L’espérance de cette loi est (grâce à la linéarité de l’espérance) \[ \mathbb E[X] = \sum_{i=1}^n \mathbb E[Y_i] = \sum_{i=1}^n p = np \] La variance de cette loi est \[ \mathbb V[X] = \sum_{i=1}^n \mathbb V[Y_i] = \sum_{i=1}^n p(1-p) = np(1-p) \] Attention, dans cette dernière formule, il ne faut pas croire que nous utilisons la linéarité de la variance ! La variance n’est pas linéaire. Pour rappel : \[ \mathbb V[aX] = a^2 \mathbb V[X] \] et \[ \mathbb V[X_1+X_2] = \mathbb V[X_1] + \mathbb V[X_2] + 2*\mathrm{cov}(X_1,X_2) \] Enfin, si \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes, alors \[ \mathrm{cov}(X_1,X_2)=0 \]

En R, cela donne

N<- 100 # taille de l'échantillon
n<- 10L  # premier paramètre de la loi
p<- 0.8 # deuxième paramètre de la loi

ech<-rbinom(N,n,p)
table(ech)/N

## ech
##    3    5    6    7    8    9   10 
## 0.01 0.04 0.01 0.21 0.41 0.26 0.06

dbinom(x=0:n,size = n,prob = p)

##  [1] 0.0000001024 0.0000040960 0.0000737280 0.0007864320 0.0055050240
##  [6] 0.0264241152 0.0880803840 0.2013265920 0.3019898880 0.2684354560
## [11] 0.1073741824

Faites varier les différents paramètres de la loi binomiale et étudier ses proriétés.

Loi Géométrique

On dit que \(X\) suit une loi géométrique, notée \(\mathcal G(p)\) avec \(0<p<1\).

Cette loi correspond au shéma suivant. On répète, de façon indépendante, une même expérience (qui a une probabilité \(p\) de réussite et une probabilité \(q=1-p\) d’échec) et on note \(X\) le rang du premier succès.

Les valeurs prises par \(X\) sont donc \(X(\Omega)=\mathbb N^\star\) et les probabilités associées sont : \[ \forall k\in\mathbb N^\star,\, p_k=P(X=k) = (1-p)^{k-1}p = q^{k-1}p \] On remarque que ces probabilités \(p_k\) définissent une suite géométrique de raison \(q\).

Pour rappel, si \(0<q<1\) alors \[ \sum_{k=n_0}^n q^k = q^{n_0}\dfrac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q} \] et donc par passage à la limite \[ \sum_{k=n_0}^{+\infty} q^k = \dfrac{q^{n_0}}{1-q} \] En appliquant cette formule pour calculer la somme des probabilités, on trouve

\[ \sum_{k=1}^{+\infty} p_k = \sum_{k=1}^{+\infty} q^{k-1}p=p\sum_{k=0}^{+\infty}q^k=p/(1-q) = 1 \]

L’espérance de cette loi est : \[ \mathbb E[X] = \sum_{k=1}^{+\infty} kp_k = p\sum_{k=1}^{+\infty}kq^{k-1} = p/(1-q)^2 = 1/p \] Le moment d’ordre 2 de cette loi est : \[ \mathbb E[X^2] = \sum_{k=1}^{+\infty} k^2p_k = p\sum_{k=1}^{+\infty}k(k-1+1)q^{k-1} = pq\sum_{k=1}^{+\infty} k(k-1)q^{k-2} + p\sum_{k=1}^{+\infty}kq^{k-1} = pq\dfrac{2}{(1-q)^3}+1/p = \dfrac{2(1-p)+p}{p^2}= \dfrac{1+q}{p^2} \] La variance vaut

\[ \mathbb V[X] = \mathbb E[X^2] - \mathbb E[X]^2 = \dfrac{1+q}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{q}{p^2} \]

En R, il faut faire attention car il y a un décalage d’une unité. La définition dans R pour une loi géométrique est le nombre d’échecs avant la première réussite. Ainsi, les valeurs prises pour cette variable sont dans \(\mathbb N\) et non pas \(\mathbb N^\star\).

n <- 25 # taille de l'échantillon
p <- 0.3 # paramètre de la loi 
ech<-rgeom(n,p) # simulation de la loi
barplot(table(ech))

Redéfinir une nouvelle variable ou une nouvelle fonction qui correspond à notre paramétrisation de la loi géométrique

Loi de Poisson

On dit que \(X\) suit une loi de Poisson, notée \(\mathcal P(\lambda)\) avec \(\lambda>0\).

On peut voir cette loi comme la loi des événements rares. Cette loi est une approximation de la loi binomiale, \(\mathcal B(n,p)\) lorsque \(n\) est grand et \(p\) petit (i.e. pour des événements rares). On pose alors \(\lambda=np\). En pratique, on dit que cette approximation est bonne dès que \(n>20\) et \(p\leq 0.1\) et \(np\leq 5\).

A l’aide de simulation, vérifier que la loi binomiale peut être approchée par la loi de poisson.

Les valeurs possibles pour \(X\) sont dans \(\mathbb N\) et les probabilités associées : \[ \forall k\in \mathbb N,\, p_k=P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!} \] On pourra vérifier (grâce à la définition de l’exponentielle \(e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\)) que \[ \sum_{k=0}^{+\infty} p_k = 1 \]

L’espérance d’une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) est : \[ \mathbb E[X] = \sum_{k=0}^{+\infty}kp_k = \sum_{k=1}^{+\infty}k p_k =\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda \] Le moment d’ordre 2 vaut \[ \mathbb E[X^2] = \sum_{k=0}^{+\infty}k^2p_k = \sum_{k=1}^{+\infty}k^2 p_k =\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}(k-1+1)\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda^2+\lambda \] et donc la variance est égale à \[ \mathbb V[X] = \mathbb E[X^2] - \mathbb E[X]^2 = \lambda^2+\lambda - \lambda^2 = \lambda \]

En R, cela donne

lambda <- 3 # paramètre de la loi de Poisson
n <- 25 # taille de l'échantillon
ech <- rpois(n,lambda) # simulation de la loi de Poisson
mean(ech)

## [1] 3.4

var(ech)

## [1] 3.166667

barplot(table(ech))

Simulez différentes lois de Poisson en faisant varier \(\lambda\) ainsi que la taille de l’échantillon.

Pour toutes ces lois, comparer la fonction de répartition empirique avec la théorique.

Introduction

Lisez la partie du cours relative aux lois continues.

Loi uniforme sur \([0,1]\), notée \(U_{[0,1]}\)

On dit que \(X\) suit une loi uniforme sur \([0,1]\) ssi sa fonction densité est : \[ \forall x\in\mathbb R,\,f(x)= \left \lbrace \begin{array}{cl} 1 & \text{si } x \in [0,1] \\ 0 & \text {sinon} \end{array} \right. \]

La fonction de répartition d’une loi uniforme sur \([0,1]\) est \[ \forall x\in\mathbb R,\, F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt = \left \lbrace \begin{array}{cl} 0 & \text{si } x<0 \\ x & \text{si } x \in [0,1] \\ 1 & \text{si } x > 1 \end{array} \right. \]

L’espérance de la loi uniforme \(U_{[0,1]}\) est \[ \mathbb E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx = \left[ \dfrac{x^2}{2}\right]_0^1= \dfrac{1}{2} \]

Le moment d’ordre 2 est \[ \mathbb E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x^2\,dx=\left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1= \dfrac{1}{3}, \] et donc la variance vaut \[ \mathbb V[X] = \mathbb E[X^2]- \mathbb E[X]^2 = 1/3 - 1/4 = 1/12. \]

n <- 30
ech <- runif(n)
mean(ech)

## [1] 0.4322295

var(ech)

## [1] 0.05778539

hist(ech,freq=F)

Loi uniforme sur \([a,b]\), notée \(U_{[a,b]}\), avec (\(a<b\))

On dit que \(X\leadsto U_{[a,b]}\) ssi sa fonction densité est \[ \forall x\in\mathbb R,\,f(x)= \left \lbrace \begin{array}{cl} \dfrac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a,b] \\ 0 & \text {sinon} \end{array} \right. \]

La fonction de répartition d’une loi uniforme sur \([a,b]\) est \[ \forall x\in\mathbb R,\, F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt = \left \lbrace \begin{array}{cl} 0 & \text{si } x<a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & \text{si } x \in [a,b] \\ 1 & \text{si } x > b \end{array} \right. \]

L’espérance vaut \[ \mathbb E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx = \int_{a}^{b} \dfrac{x}{b-a}\,dx = \dfrac{1}{b-a} \left[ \dfrac{x^2}{2}\right]_a^b= \dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)} = \dfrac{a+b}2 \]

Le moment d’ordre 2 est \[ \mathbb E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)\,dx = \int_{a}^{b} \dfrac{x^2}{b-a}\,dx=\dfrac{1}{b-a}\left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1= \dfrac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \dfrac{a^2 + ab+b^2}{3}, \] et donc la variance vaut \[ \mathbb V[X] = \mathbb E[X^2] - \mathbb E[X]^2 = \dfrac{a^2 + ab+b^2}{3} - \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} = \dfrac{a^2-2ab+b^2}{12} = \dfrac{(b-a)^2}{12} \]

Théorème : Si \(\mathbf{X\leadsto U_{[0,1]}}\) alors \(\mathbf{Y=(b-a)X+a \leadsto U_{[a,b]}}\).

En R, il n’est pas utile de connaître ce théorème car la fonction runif permet de passer les bornes \(a\) et \(b\) en arguments.

n<-30
ech<-runif(n,2,5) # simulation d'un échantillon d'une loi uniforme sur [2,5]
mean(ech)

## [1] 3.495684

var(ech)

## [1] 0.7500752

hist(ech,freq=F)

Loi Normale centrée réduite, notée \(\mathcal N(0,1)\)

Si \(X\leadsto \mathcal N(0,1)\) alors la fonction densité de \(X\) est \[ \forall x\in\mathbb R,\, f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \]

Le premier paramètre de la loi normale est l’espérance de la loi et le second correspond à la variance de la loi. On peut remarquer que cette fonction est paire, i.e. \(\forall x\in\mathbb R,\,f(-x)=f(x)\), ce qui implique une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

curve(dnorm,from = -4,to = 4,col="red",main="Densité de la loi Normale centrée réduite",ylab="",axes=F)
axis(1,xaxp=c(-4,4,8))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

On peut également remarquer que la courbe s’approche très rapidement de l’axe des abscisses dès lors que l’on séloigne de l’espérance (ici 0).

n<-100
ech<-rnorm(n) # simulation d'une loi normale centrée réduite
mean(ech)

## [1] -0.02140691

var(ech)

## [1] 0.9093207

hist(ech,freq=F,breaks=10,xlim = c(-3,3))

Vérifier de plusieurs manières que \[ \mathbf{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2\pi}}. \]

L’espérance de la loi normale centrée réduite vaut \[ \mathbb E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx =0 \]

Le moment d’ordre 2 (qui est aussi la variance car l’espérance est nulle) se calcule par une intégration par parties \[ \mathbb V[X]=\mathbb E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx =\dfrac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}x^2e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx \] Or \[ \int_{0}^{t}x^2e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx = \left[ -xe^{-\frac{x^2}{2}}\right]_0^t+\int_0^te^{-\frac{x^2}{2}}\,dx \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \] et donc \[ \mathbb V[X] = 1 \]

Loi Normale \(\mathcal N(\mu,\sigma^2)\)

On dit que \(X\leadsto\mathcal N(\mu,\sigma^2)\) si sa fonction densité est : \[ \forall x\in\mathbb R,\, f(x)= \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] On pourra vérifier que l’intégrale de cette fonction sur \(\mathbb R\) vaut bien 1. \(\mu\) représente l’espérance de la loi et \(\sigma^2\) la variance.

curve(dnorm(x,mean=1,sd=2),from = -5,to = 7,col="red",main="Densité de la loi N(1,4)",axes=F,ylab="") # Attention, on rentre l'écart-type et non la variance !!!
axis(1,xaxp = c(-5,7,12))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

Que remarquez-vous ?

Théorème : Si \(\mathbf{X\leadsto\mathcal N(\mu,\sigma^2)}\) alors \(\mathbf{\dfrac{X-\mu}\sigma\leadsto\mathcal N(0,1)}\)

Ce théorème est extrêmement important car il dit qu’on est toujours capable de se ramener à une loi normale centrée réduite (encore faut-il connaître l’espérance et la variance de la loi).

Mettre en oeuvre un programme permettant de vérifier ce théorème par la simulation.

Exercices sur la loi normale

rnorm(20,0,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(0,1)

##  [1] -1.7032087 -2.0534813 -0.4378787  2.5270446 -0.5457850  0.9654907
##  [7] -0.4282005  1.1025392 -1.1312043  0.2999487  0.8402349 -1.0814214
## [13]  0.5904264 -0.9485972 -0.4725433 -0.3680458 -1.1901503  0.1842897
## [19]  0.3722096 -1.0157028

rnorm(20,1,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(1,1)

##  [1]  1.8867801  1.6159368  0.6998990  1.7955722  1.1335467  1.5035369
##  [7]  0.3348979  1.7247437  1.2954924 -0.0586502  0.2012321  1.8088699
## [13]  0.1935927  0.3701374  1.3362243  2.5321147 -0.1263768  1.1520324
## [19]  1.7443802 -0.7022098

rnorm(20,2,1) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(2,1)

##  [1] 1.1594811 3.0008013 0.5639313 2.9202225 3.9640892 3.1307478 4.1760582
##  [8] 1.5139560 1.6798439 3.6444234 2.5063018 2.8740404 1.7363008 2.0191012
## [15] 2.8671983 1.5484510 1.1397431 3.0331141 1.1176564 0.7842981

rnorm(20,0,2) # simulation d'un échantillon de taille 20 d'une loi N(0,1)

##  [1] -3.9318519 -0.7959969 -2.6530789  0.9173994 -3.0609998  3.8701073
##  [7] -0.6678423 -0.6091488  0.7059081  2.9011270  2.6079106 -1.8114475
## [13] -1.4332422 -0.3484073 -1.2058270 -2.4926781  1.8304813  0.7455695
## [19]  0.8558886  1.1692576

rnorm(20,0,4)

##  [1]  1.1113208  0.2002640  2.0290919 -5.9608327 -0.7393258 -2.3503499
##  [7] -2.9548804 -1.0685149  1.5091304  3.0101102 -1.9021075 -4.5605041
## [13] 10.4379319 -1.3745206  2.8863127 -2.6154390  0.7345934  2.6945854
## [19] -1.5971151  1.9429857

oldpar<-par()          # mise en memoire des param?tres graphiques par d?faut
par(xaxs="i",yaxs="i") # re-d?finition des styles d'axes pour les graphiques de ce TP3

##########################
# QUESTION 1
##########################
# Echantillons de taille n=2000 individus avec diff?rents param?tres
n<-2000
nd1<-rnorm(n,0,1)
nd2<-rnorm(n,1,1)
nd3<-rnorm(n,2,1)
nd4<-rnorm(n,0,2)
nd5<-rnorm(n,0,4)

nd_en_col<-cbind(nd1,nd2,nd3,nd4,nd5) # les echantillons sont mis en ensemble, colonne par colonne
colSums(nd_en_col< -2)/n           # pour chaque colonne on compte le nombre de valeurs qui est en dessous de -2 et on ramène cela à un pourcentage

##    nd1    nd2    nd3    nd4    nd5 
## 0.0225 0.0010 0.0000 0.1595 0.3070

##########################
# QUESTION 2
##########################
# Tracer les valeurs
plot(nd1,type="l")

# Executer les commandes ci dessous et quelles sont les différences ?
hist(nd1)

hist(nd1,freq=TRUE,breaks=40)
hist(nd1,freq=TRUE,breaks=50)

##########################
# QUESTION 3
##########################
# On trace plusieurs histogrammes pour comparer la répartition des valeurs
par(mfrow=c(2,3))   # 6 graphes dans une seule fenetre 
                    # sur 2 lignes et 3 colonnes

infx<- -5           # valeur min sur l'axe des x
supx<- 5            # valeur max sur l'axe des x
x<-seq(infx,supx,0.1) # creation d'un vecteur du min au max par pas de 0.1

hist(nd1,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,0,1),col="red") # on ajoute a l'histogramme des valeurs 
                                # la courbe theorique de la densite

hist(nd2,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,1,1),col="red")
hist(nd3,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,2,1),col="red")

# seconde ligne de graphiques
infx<- -10
supx<- 10
x<-seq(infx,supx,0.1)
hist(nd1,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,0,1),col="red")
hist(nd4,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,0,2),col="red")
hist(nd5,freq=FALSE,breaks=40,xlim=c(infx,supx))
lines(x,dnorm(x,0,4),col="red")

##########################
# QUESTION 4
##########################
# On trace les fonctions de répartition des différents
# échantillons pour comparer la répartition des valeurs
par(mfrow=c(2,3))
infx<- -3
supx<- 3
x<-seq(infx,supx,0.1)
plot(ecdf(nd1),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,0,1),col="red")
plot(ecdf(nd2),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,1,1),col="red")
plot(ecdf(nd3),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,2,1),col="red")
infx<- -10
supx<- 10
x<-seq(infx,supx,0.1)
plot(ecdf(nd1),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,0,1),col="red")
plot(ecdf(nd4),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,0,2),col="red")
plot(ecdf(nd5),xlim=c(infx,supx))
lines(x,pnorm(x,0,4),col="red")

par(mfrow=c(1,1))

##########################
# QUESTION 5
##########################
curve(dnorm,from=-4,to=+4)
# creation d'une fonction pour colorier l'aire sous la courbe d'une
# fonction <fun> entre <xmin> et <xmax>
shade_under_curve <- function(fun, xmin, xmax, length=100){
  xvals <- seq(xmin, xmax, length=length)
  dvals <- match.fun(fun)(xvals)
  polygon(c(xvals,rev(xvals)),c(rep(0,length),rev(dvals)),col="gray")
}
shade_under_curve(dnorm,-5,-1)

##### valeur de l'aire sous la courbe
integrate(dnorm,-Inf,-1)

## 0.1586553 with absolute error < 4.8e-07

##### valeur de F(-1) à lire sur le graphe
curve(pnorm,from=-3,to=3,xaxs="i",yaxs="i")
grid(NA,40,lwd=1)
segments(-1,0,-1,pnorm(-1))
segments(-1,pnorm(-1),-3,pnorm(-1))

##### valeur de F(-1) par la fonction pnorm
pnorm(-1)

## [1] 0.1586553

par(mfrow=c(2,2))
N04<-function(x) dnorm(x,0,2)
curve(N04,from = -8,to = 8,ylab="",axes=FALSE,main="Densité N(0,4)")
shade_under_curve(N04,-8,-1)
axis(1,xaxp=c(-6,6,12))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

curve(N04,from = -8,to = 8,ylab="",axes=F,main="Densité N(0,4)")
shade_under_curve(N04,-8,2)
axis(1,xaxp=c(-6,6,12))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

curve(N04,from = -8,to = 8,ylab="",axes=F,main="Densité N(0,4)")
shade_under_curve(N04,2,8)
axis(1,xaxp=c(-6,6,12))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

curve(N04,from = -8,to = 8,ylab="",axes=F,main="Densité N(0,4)")
shade_under_curve(N04,-1,2)
axis(1,xaxp=c(-6,6,12))
axis(2,pos=0,c(-1,1))

Lien entre lois normales

Soit \(X\) une variable aléatoire distribuée suivant la loi normale d’espérance \(0\) et d’écart-type \(1\).

On souhaite montrer que les variables \(X_1=X+1\), \(X_2=X-1\), \(X_3=2X\) et \(X_4=X/2\) suivent aussi une loi normale. Pour cela on simule un grand nombre de valeurs suivant la loi normale \(N(0,1)\) et l’on construit les nouvelles variables. Étudier la distribution de ces nouvelles variables.

x<-rnorm(10000,0,1)
x1<-x+1
x2<-x-1
x3<-x*2
x4<-x/2

Soit maintenant \(Y\) une variable aléatoire de moyenne \(4\) et de variance \(3\), quelle est la distribution de la variable \(Z=\frac{Y-2}{\sqrt{3}}\) ?

Sommes de variables aléatoires gaussiennes

En vous aidant des résultats du script suivant, donner la loi de \(X+Y\) et de \(X-Y\) si \(X\leadsto N(m_1,\sigma_1^2)\) et \(Y\leadsto N(m_2,\sigma_2^2)\).

old_par<-par()
par(xaxs="i",yaxs="i")

# Deux variables gaussiennes de m?me loi
x<-rnorm(10000,0,1)
y<-rnorm(10000,0,1)

z<-x+y
hist(z,breaks=20,freq=FALSE,ylim=c(0,0.5))
curve(dnorm,from= -4,to=4,add=TRUE,col="red") # la loi N(0,1)

x<-seq(-5,5,0.1)
lines(x,dnorm(x,0,sqrt(2)),col="green4") #la loi propos?e

# Deux variables gaussiennes de meme ecart type mais pas de meme esperance
x<-rnorm(10000,0,1)
y<-rnorm(10000,1,1)

z<-x+y
hist(z,breaks=20,freq=FALSE,ylim=c(0,0.5))
curve(dnorm,from= -4,to=4,add=TRUE,col="red") # la loi N(0,1)

x<-seq(-5,5,0.1)
lines(x,dnorm(x,0,sqrt(2)),col="green4") #la 1ere loi propos?e

x<-seq(-5,5,0.1)
#   lines(x,dnorm(x,###### a vous de trouver######),col="blue4") # la loi que vous proposez (pensez à décommentez la ligne...)

# Deux variables gaussiennes de meme esperance mais pas de meme ecart type
x<-rnorm(10000,0,1)
y<-rnorm(10000,0,2)

z<-x+y
hist(z,breaks=20,freq=FALSE,ylim=c(0,0.5))
curve(dnorm,from= -4,to=4,add=TRUE,col="red")

x<-seq(-5,5,0.1)
#lines(x,dnorm(x,###### a vous de trouver######),col="green4") #la loi que vous proposez

\[ X+Y\leadsto \]

\[ X-Y\leadsto \]

Déduire de ce qui précède la loi de la variable \(\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+X_3+...+X_n)\) où toutes les variables \(X_i\) sont gaussiennes centrées réduites. Écrire un script pour l’illustrer.

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# Ecrire un script pour expliquer la loi d'une moyenne de lois gaussiennes #
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Somme de carrés de variables gaussiennes centrées réduites

Pour une somme de carrés de variables gaussiennes centrées réduites regarder la suite du script. Trouver le nom de la nouvelle loi des carrés et comment on choisit ses paramètres. (consulter l’aide de R)

#################################################################
## Somme des carrés de loi gaussiennes                        ###
#################################################################
v1<-rnorm(10000,0,1)^2
v2<-rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2
v3<-rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2
v4<-rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2+rnorm(10000,0,1)^2

hist(v1,breaks=40,prob=TRUE,xlim=c(0,10),ylim=c(0,1.5))
curve(dchisq(x,1),from= 0,to= 10,add=TRUE,col="red")

hist(v2,breaks=40,prob=TRUE,xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.5))
curve(dchisq(x,2),from= 0,to= 10,add=TRUE,col="red")

hist(v3,breaks=40,prob=TRUE,xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.3))
curve(dchisq(x,3),from= 0,to= 10,add=TRUE,col="red")

hist(v4,breaks=40,prob=TRUE,xlim=c(0,20),ylim=c(0,0.20))
curve(dchisq(x,4),from= 0,to= 10,add=TRUE,col="red")      

Question : Etes-vous en mesure de compléter la formule ci-dessous ?

\[ X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_n^2\leadsto \]

Exercice

La taille \(X\) d’un homme français tiré au sort dans la population est supposée suivre une loi normale de moyenne \(172\,cm\) et de variance \(196\,cm^2\) :

1. quelle est la probabilité que \(X\) soit inférieure à \(160\,cm\) ?

2. quelle est la probabilité qu’un homme tiré au sort mesure plus de deux mètres ?

3. Que vaut \(P(165<X<185)\) ?

4. La taille des femmes françaises est modélisée par une loi gaussienne de moyenne \(162\,cm\) et de variance \(144\,cm^2\). Quelle est la probabilité qu’un homme tiré au sort soit plus grand qu’une femme choisie au hasard ?

Loi Exponentielle

On dit que \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\), ce que l’on note \(X\leadsto \mathcal E(\lambda)\) ssi sa fonction densité est : \[ \forall x\in \mathbb R,\,f(x)=\left \lbrace \begin{array}{cl} \lambda \exp(-\lambda x) & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text {sinon} \end{array} \right. \]

Question : Vérifier que \(f\) est bien une fonction densité.

La fonction de répartition de \(X\) est \[ \forall x\in \mathbb R,\,F(x)= \int_{-\infty}^x f(t)\,dt = \left \lbrace \begin{array}{cl} 1- \exp(-\lambda x) & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text {sinon} \end{array} \right. \]

L’espérance d’une loi exponentielle est \[ \mathbb E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx = \frac 1\lambda \] Le moment d’ordre 2 d’une loi exponentielle est \[ \mathbb E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)\,dx =\frac{2}{\lambda^2} \] et donc la variance vaut \[ \mathbb V[X] = \mathbb E[X^2] - \mathbb E[X]^2 = \frac{1}{\lambda^2} \]

On peut mettre en oeuvre cela en R

n <- 30              # taille de l'échantillon
lambda <- 10^{-3}    # paramètre de la loi exponentielle
ech<- rexp(n,rate = lambda)
mean(ech)

## [1] 1182.928

var(ech)

## [1] 1543949

hist(ech,freq=F)

plot(ecdf(ech))